Trivia PSU: Mide tus conocimientos en la prueba de matemáticas

Trivia PSU 2018

• Pregunta 1
  
  En la recta numérica, ¿cuál de los siguientes números racionales se encuentra más cercano al número uno?
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es E
  
  Resolución:
  
  Una manera de determinar cuál de los números racionales dados en las opciones está más cerca del número uno es comparar cada fracción con el 1, calculando la distancia entre la fracción y el número 1 en la recta numérica.
  
  Recuerda que: la distancia entre dos números en la recta numérica se puede calcular restando al número mayor el número menor
  
  La distancia en la recta numérica entre cada fracción dada en las opciones y el número 1 se calcula tal como se muestra a continuación:
  
  
  
  
  
  
  
  Recuerda que: si b y d son números enteros positivos y b > d, entonces
  
  Como se busca la distancia menor, se comparan las distancias anteriores, por lo que al ordenarlas de menor a mayor se obtiene lo siguiente:
  
  
  
  Por lo tanto, la clave es E).
• Pregunta 2
  
  ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación (ax)² + a = 0, en x, con a un número real negativo distinto de -1?
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es B
  
  Resolución:
  
  Para encontrar las soluciones de la ecuación dada en la pregunta se puede despejar x de la siguiente manera:
  
  
  
  Luego, las soluciones de la ecuación son y , con a un número real negativo distinto de -1.
  
  De lo anterior se tiene que B) es la opción correcta.
• Pregunta 3
  
  Por x tarros de pintura que se compran, se paga $ p. Si todos los tarros tienen el mismo precio, ¿cuál de las siguientes expresiones representa cuánto se paga, en pesos, por comprar dos tarros menos de pintura?
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es E
  
  Resolución:
  
  Para determinar la expresión que representa cuánto se paga por comprar dos tarros menos de pintura, se puede establecer una relación de proporcionalidad entre las variables, la que permite obtener una ecuación de primer grado.
  
  Recuerda que: dos variables x e y son directamente proporcionales si hay una constante k distinta de cero, tal que .
  
  Así, del enunciado del ítem se tiene que:
  
  Total de tarros de pintura comprados: x
  Total pagado por los x tarros: $ p
  
  Ahora, si se designa por M el valor a pagar por la compra de dos tarros menos de pintura (x - 2), se establece la siguiente proporcionalidad directa:
  
  
  Multiplicando por (x - 2) en ambos lados de la igualdad
  
  Expresión que se encuentra en la opción E).
• Pregunta 4
  
  Si el área de un rectángulo es 75 cm² y el ancho del rectángulo mide 10 cm menos que su largo, ¿cuál es la medida de su largo?
  1. A) 5 cm
  2. B)
  3. C) 15 cm
  4. D)
  5. E) No existe un rectángulo con esas dimensiones.
  La alternativa correcta es C
  
  Resolución:
  
  Una forma de responder la pregunta es representar las medidas del largo (x) y del ancho del rectángulo, para luego escribir una expresión que represente su área, como se muestra a continuación:
  
  
  
  Recuerda que: el área de un rectángulo de lados a unidades y b unidades es a·b unidades cuadradas.
  
  Con esta información se puede formar la siguiente ecuación de segundo grado:
  
  
  
  Recuerda que: la fórmula general para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática de la forma ax ² + bx + c = 0, en x, con a, b y c números reales y a distinto de cero, es
  
  De esta manera, de la ecuación x² - 10x - 75 = 0 se tiene que a = 1, b = -10 y c = -75.
  
  Luego, al reemplazar estos valores en la fórmula se obtiene:
  
  
  
  Así, las dos raíces de la ecuación cuadrática son x₁ = 15 y x₂ = -5, pero como la variable x representa la medida del largo del rectángulo, la solución válida es x₁ = 15 cm, valor que se encuentra en la opción C).
• Pregunta 5
  
  ¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la función f(x) = dx + d, con dominio el conjunto de los números reales, si d es un número real distinto de cero y de uno?
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es D
  
  Resolución:
  
  Una forma de determinar cuál de los gráficos de las opciones podría representar a la función f(x) = dx + d es determinar los puntos donde la gráfica de esta función intersecta a los ejes coordenados.
  
  Recuerda que: la gráfica de una función afín de la forma g(x) = mx + n es una recta que intersecta al eje x en el punto e intersecta al eje y en el punto (0, n).
  
  
  Así, como f(x) = dx + d, se tiene que la recta asociada a f intersecta al eje y en el punto (0, d) y al eje x en el punto . La gráfica de la opción D) es la que cumple con estas condiciones.
• Pregunta 6
  
  En el triángulo ABC de la figura adjunta, D pertenece a AC y E pertenece a AB. Si DE // BC, ¿cuál es la medida del segmento AE?
  
  
  
  
  1. A) 5 cm
  2. B) 6 cm
  3. C) 7 cm
  4. D) 9 cm
  5. E) 10 cm
  La alternativa correcta es B
  
  Resolución:
  
  Una manera de determinar la medida de AE es formular una ecuación que permita obtener el valor de x aplicando el teorema de Thales.
  
  Recuerda que: al aplicar el teorema de Thales al triángulo de la figura, donde ST // PQ, se obtiene la relación
  
  
  
  Así, como DE // BC se puede aplicar el teorema de Thales, obteniendo lo siguiente:
  
  
  
  Luego, AE = (x + 2) cm = 6 cm, medida que se encuentra en la opción B).
• Pregunta 7
  
  En la circunferencia de la figura adjunta la recta PT es tangente a ella en T, la recta PB es una secante, el punto A y el punto B pertenecen a la circunferencia, PA = AB, PT = 10 cm y los puntos B, A y P son colineales. ¿Cuál es la medida del segmento PB?
  
  
  
  
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es B
  
  Resolución:
  
  Para determinar la medida del segmento PB de la figura se puede aplicar la relación entre la secante PB y la tangente PT a la circunferencia.
  
  Recuerda que: en una circunferencia, donde la secante RQ se intersecta con la tangente RM, tangente en el punto M, se cumple que RM² = RS · RQ
  
  
  
  Así, si se designa por x a la medida de PA y tomando los datos del enunciado se tiene la siguiente figura:
  
  
  
  Aplicando la relación antes descrita se tiene:
  
  
  
  Como x representa la medida de un segmento, se tiene .
  Luego, , medida que se encuentra en la opción B).
• Pregunta 8
  
  En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura adjunta, el segmento CD es altura y D pertenece al segmento AB. Si y BD : DA = 1 : 4, ¿cuál es la medida del segmento CD?
  
  
  
  
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
  La alternativa correcta es B
  
  Resolución:
  
  Para encontrar la medida del segmento CD se puede utilizar el teorema de Euclides referido a la altura.
  
  Recuerda que: al aplicar el teorema de Euclides referido a la altura en cualquier triángulo rectángulo, cuya altura (h) trazada desde el vértice opuesto a la hipotenusa, se cumple h² = p · q, donde p y q son las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
  
  
  
  Al colocar los datos del enunciado en la figura, se tiene:
  
  
  
  Luego, BD + DA = 15v2 . Como BD : DA = 1 : 4, entonces DA = 4·BD.
  De esta manera, se tiene que 5·BD = 15v2 llegando a BD = 3v2 cm.
  Así, DA = 12v2 cm
  
  Aplicando el teorema de Euclides, se obtiene que:
  
  CD² = BD · DA
  CD² = 3v2 · 12v2
  CD² = 72
  CD = 6v2 cm
  
  Medida que se encuentra en la opción B).
• Pregunta 9
  
  En un curso de 50 estudiantes, se escogen al azar 5 de ellos, cuyas estaturas, en cm, son: 150, 155, 160, 160 y 165. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta información?
  
  I) El promedio de las estaturas de los 50 estudiantes es 158 cm.
  II) La mitad de los estudiantes del curso mide más de 160 cm.
  III) La estatura de, exactamente, el 10% de los estudiantes del curso se ubica en el intervalo [150, 165].
  
  
  1. A) Solo I
  2. B) Solo I y II
  3. C) Solo I y III
  4. D) Solo II y III
  5. E) Ninguna de ellas
  La alternativa correcta es E
  
  Resolución:
  
  Para resolver este ítem se debe determinar si las afirmaciones dadas en I), en II) y en III) se pueden deducir a partir de la información del enunciado.
  
  Recuerda que: el promedio de un conjunto de datos no agrupados es igual a la suma de todos los datos dividido por la cantidad total de datos.
  
  En I) se afirma que el promedio de las estaturas de los 50 estudiantes es 158 cm, esto no se puede deducir del enunciado, pues, por ejemplo, si se considera que 45 estudiantes de los 50 miden 180 cm, el promedio sería el siguiente:
  
  
  
  En II) se afirma que la mitad de los estudiantes del curso mide más de 160 cm. Del enunciado se tiene información de solo 5 estudiantes del total, pero no se tiene información de la estatura de los 45 estudiantes restantes del curso, por lo que estos pueden tener una estatura de, por ejemplo, 155 cm, luego no se puede deducir la afirmación en II).
  
  En III) no se puede deducir que exactamente el 10% de los estudiantes se encuentren en el intervalo [150, 165], puesto que si se considera, al igual que en II), que el resto de estudiantes tienen una estatura de 155 cm, el 100% de los estudiantes estaría en el intervalo [150, 165].
  
  Así, de una muestra de 5 estudiantes de un curso no se pueden deducir las afirmaciones dadas en relación a las estaturas del total de estudiantes del curso, por lo que la clave es E).
• Pregunta 10
  
  En el experimento de lanzar un dado común tres veces se define la variable aleatoria discreta X como la cantidad de números pares obtenidos. ¿Cuál de los siguientes conjuntos corresponde al recorrido de X?
  1. A) {2, 4, 6}
  2. B) {0, 1, 2, 3}
  3. C) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  4. D) {0, 1}
  5. E) {1, 2, 3}
  La alternativa correcta es B
  
  Resolución:
  
  Para determinar el recorrido de la variable aleatoria, se debe determinar la cantidad de números pares que se pueden obtener al lanzar un dado común tres veces. De esta manera se tiene lo siguiente:
  
  
  
  Por lo tanto, el recorrido de X es {0, 1, 2, 3}, siendo la clave B).

Resultados

0Correctas

0Incorrectas